Derivadas e Integrales en el Plano Complejo

¿Cómo hice mis Ejercicios?

En la primera parte de la guia es decir la número 2 aplique:

• El teorema Cauchy-Riemann: son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones. Sea una función compleja f(z), con z = x + iy. Se sabe que f(z) se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y). Si la función f(z) es derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:ux(x0,y0) = vy(x0,y0)vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)donde ux significa la derivada parcial de la función u respecto a la variable x, usualmente simbolizado . Análogamente para uy, vx y vy. Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:f'(z0) = ux(x0,y0) + ivx(x0,y0) = vy(x0,y0) − iuy(x0,y0)
  
• La Regla de l'Hôpital:

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito)

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.

En la Guia Número 2 Aplique El teorema de la Integral de Cauchy
Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D entonces para cualquier contorno cerrado simple contenido en D.

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple que contenga al punto se tienek = n + 1.kordenpolodevalorz = z0donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Continuidad en Fuciones de variables Complejas

Se llama función de variable compleja a una aplicación cuyo dominio D y rango R son subconjuntos
de C.
La notación habitual para este tipo de funciones es z = (x y) para representar a un elemento de D y

• w = (u v) para un elemento de R.

f ∈ func. var. compleja :
D ⊂ C
R ⊂ C
f : D −→ R
z=(x y) 7−→ w=(u v)=f(z)
Se desprende de la definición que u y v, partes real e imaginaria de w, son sendas funciones reales de
dos variables.
f : z 7−→ f(z) = u(x y) + i v(x y)

Continuidad

Para dotar de rigor al tratamiento del cálculo integral, diferencial, sucesiones, series, etc. es necesario precisar la noción de continuidad.
Esta, es una de las ideas más importantes y fascinantes del análisis matemático, que ha abierto la necesidad y el camino para nuevos cursos de estudio y creación, entre ellos por ejemplo los espacios métricos y los espacios topológicos en general.
Para introducirse en la concepción de la noción de continuidad es más sencillo pasar por el significado de su opuesto lógico: la falta de continuidad.
Un primer acercamiento a la idea podría ser : “Los puntos x próximos al punto a no tienen una aplicación f(x) próxima a f(a)”.

¿Para que sirven los Números Complejos?

Antes que todo definamos que es un Número complejo

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria imag.

En la practica los números complejos se pueden usar en el diseño de transformadores de potencial, maquinas sincronicas, etc. Y en el diseño de algunos sistemas de control.

En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma
donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma
donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C